討論幾種主要低通濾波器的近似方法及特點分析

濾波器的近似方法主要有三種：1、巴特沃思（Butterworth）近似（最大平坦近似）；2、切比雪夫（Chebyshev）近似（等波動近似）；3、橢圓函數近似。

上面指出，在實現各種濾波器時，可以只考慮低通濾波器，其他三種（高通、帶通和帶阻）濾波器都可根據低通濾波器的網絡函數，通過相應的參數變換來得到，具體的變換方法將在后面進行討論。在考慮低通濾波器的網絡函數時，不同的低通濾波器其通帶截止頻率ωc可能是各不相同的，但為了討論方便起見，把頻率變量ω按通常截止頻率ωc的尺度進行變換，取Ω=ω/ωc的歸一化頻率進行近似。對于歸一化頻率Ω來說，所有低通濾波器的通帶截止頻率將都變為1。

下面分別討論幾種主要低通濾波器的近似方法。

1、巴特沃思近似

巴特沃思低通濾波器的幅頻關系式為

式中Ω為歸一化頻率，即Ω=ω/ωc；H（0）為Ω=0時的幅值。

從（5.1-2）式可以看到幅頻函數|H（jΩ）|將隨歸一化須率|的增大而單調地減少。當Ω=0時，| H（j0）|=H（0）為最大值，當Ω=1時，| H（jΩ）|=H（0）/，即下降3分貝，以后隨Ω的增大而逐漸趨向于零。對于巴特沃思近似，它的通帶衰減為3分貝，且與階數n無關。隨著階數n的增大，其幅頻響應越接近于理想濾波器的幅頻特性。圖5.1-2給出了n=2.5.10時的巴特沃思近似的幅頻特性，圖中H（0）=1。

從（5.1-2）式可知，當Ω>1時，其幅值將以-20n分貝/10倍頻程速率下降。根據對某一阻帶頻率Ωs時需As分貝的衰減量，則巴特沃思的階數n為

例如Qs=2時，要求衰減量As大于40分貝，則根據上式得

取n=7，即巴特沃思低通濾波器的階數n=7時才能滿足：Ωs=2時阻帶衰減量大于40分貝的要求。顯然，對于某一歸一化角頻率Ω（大于1），衰減As越大，所需階數n越大。反之，對于給定的阻帶衰減量As，Qs越接近于1，則階數n越大。

為求得巴特沃思低通濾波器的網絡函數H（S），由（5.1-2）式可以寫為

將上式的jΩ變為復數變量S，則有Ω²=-S²，用S變量代入上式，則可得（設H（0）=1）

（5.1-5）式具有2n個極點，其極點可由下式得到：

由此式可知，2n個極點分布在S平面的單位圓上，且左、右平面是對稱的。為了滿足可實現條件，可認為左半平面極點為H（S）的極點。根據（5.1-6）式，左平面的極點可寫為

因而巴特沃思低通濾波器的網絡函數為（見參考文獻（32））

為方便起見，上式可寫為：

n為偶數時，

而

n為奇數時，

而

由（5.1-10）、（5.1-11）式和（5.1-13）、（5.1-14）式可求得。表5.1-1列出n從2到10的值。根據值，可直接寫出n從2到10的巴特沃思低通濾波器的網絡函數H（S）。

例如，n=5，a11=0.618，a12=1.618，由（5.1-12）式得

對于n≤10的巴特沃思低通濾波器的幅頻特性如圖5.1-3所示。圖中的角頻率座標為歸一化角頻率Ω，H（0）等于0分貝。

2、切比雪夫近似

巴特沃思近似在Ω=0處具有較好的幅頻特性，但在Ω較大時（即當Q=1時）有3分貝的誤差，同時在阻帶（Ω>1）中，幅度的衰減速率不是很快（對于一定的n值），為此采用切比雪夫近似，由于這種近似在通帶內具有等波動特性，故稱這種近似為等波動近似。切比雪夫低通濾波器的幅頻響應為

式中歸一化頻率Ω=ω/ωc，而ωc為通帶等波動寬度；Ho是Ω=0時的幅值；∈是與通帶波動大小有關的量，其值小于1；（Ω）是切比雪夫多項式。

切比雪夫多項式定義如下：

由（5.1-16）式得（Ω）的表示式，如表5.1-2所示。

切比雪夫多項式具有以下特點：

（1）在Q≤1的范圍內，函數值（Ω）進行波動，但它的絕對幅度不超出1，即▏（Ω）▏≤1。

（2）當Ω>1時，則▏（Ω）▏將隨Ω的增加而迅速增加。

從（5.1-15）式可以看出，在Ω≤1時，因為∈<1，，因此只是在Ho以下進行波動，∈越小則波動也越小，但當Ω>1時，并且，那么將《1，n越大，則減小得越快。圖5.1-4示出了對于某一∈值n分別為2、5和10時，切比雪夫近似的幅頻特性。

由圖5.1-4可知，通帶內具有等波動性質，通帶最大的衰減值R，與∈的關系為（見參考文獻（32））

通帶內波動的次數將由近似階數n來確定，n越大則波動次數越多，但在Ω=1處，則不管n為多大，衰減值相同，即等于。當Ω>1時，幅度下降速率要比巴特沃想近似來得快。若階數n相同，則越大，阻帶的衰減速率越快。

關于近似函數的階數n，也和巴特沃思近似一樣，將由濾波器到達阻帶衰減As（分貝）時的阻帶頻率Ωs來確定，其關系式可由（5.1-15）式來確定。設Ho=1，則阻帶衰減值As=1/▏H（jΩs）▕，即

當Ω較大時，，并根據的遞推關系式（見表5.1-2），可以推得多項式中Ω的最高次項將為，若在多項式中僅保留其最高次項，于是（5.1-18）式可近似為

由上式得

【例1】設計一個低通濾波器，通帶波動分貝，而當Ωs=2時，阻帶衰減值As≥

40分貝，試求切比雪夫近似階數n。

由（6.1-17a）式得

由（5.1-19）式得

根據前面計算可知，阻帶衰減As≥40分貝條件下，若采用巴特沃思近似，階數n為7。顯然，切比雪夫近似在阻帶衰減要比巴特沃思近似來得快。因此，人們往往采用切比雷夫近似。

為求得切比雪夫近似的網絡函數H（S），將S=jΩ代入式（5.1-15）得

由上式可求得H（S）的極點，設極點經一定的數學處理后，分別由下式表示（見參考文獻（32））：

式中

計算出后，歸一化的切比雪夫網絡函數H（S）表示式為

式中

H0是根據H（0）=1時求得的值。將（5.1-22）式的分母展開，H（S）可寫為：

n為偶數時，

n為奇數時，

設為的共頓極點，即則（5.1-23）、（5.1-24）式中的

和與極點的關系為

（5.1-24）式中的為網絡函數的實極點。

巴特沃思網絡函數H（S）的極點分布在以1為半徑的一個圓上，而切比雪夫網絡函數H（S）的極點分布在相應的橢圓上，它們分布的角度則都是相同的。

【例2】設計低通濾波器，要求通帶波動分貝，阻帶頻率時阻帶衰減As≥40分貝。

由（5.1-17a）式得

由（5.1-19）式得階數n=4。

為簡單起見，將（5.1-21a、b）式改寫為

式中

將∈值代入關系式得

將值代入（5.1-21a，b）式得

因而切比雪夫網絡函數的極點為

由（5.1-23）式得歸一化切比雪夫網絡函數H（S）為

表5.1-3~5分別給出通帶波動為0.1分貝，0.25分貝和0.5分貝時的切比雪夫網絡函數，表中實極點為）。

3、橢圓函數近似

前面討論的巴特沃思、切比雪夫網絡函數H（S）是全極點網絡函數，沒有零點。這里討論的橢圓函數近似是既有極點又有零點。它在通帶部分與切比雪夫近似相似，具有等波動特性，而頻率大于通帶截止頻率（Ω=1）時，其幅度衰減速率比切比雪夫近似更快，但止帶衰減不是單調的，也具有等波動特性，為了便于比較，圖5.1-5給出了三種近似的幅頻特性。這三種曲線，階數（極點）n都等于5，切比雪夫通帶波動。分貝。橢圓函數通帶波動分貝，而且橢圓函數近似具有兩個零點。

歸一化橢圓函數的幅須曲線如圖5.1-6所示。圖中各參數定義如下；

=通帶波動（與切比雪夫近似相同），單位為分貝。

=止帶最小衰減，單位為分貝。

Ω1為到達止帶衰減時的最低止帶頻率，通常稱橢圓近似的止帶頻率。通帶等波動寬度為通帶截止頻率，即Ω1，Ω從1→Ω1區，稱為過渡帶區。

橢圓函數近似的網絡函數H（S）計算十分復雜，這里不進行討論?，F只給出表示式和參數表，供設計使用。

橢圓函數近似的歸一化網絡函數/H（S）為

式中的和由和止帶頻率所決定。

表5.1-6~表5.1-8分別給出n=3、5、7時的歸一化梳圓函數H（S）。表中參數與（5.1-27）、（5.1-28）式中的和有如下的關系：。

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