常見濾波器低通、高通、帶通的設計方法及基本詳解

RLC梯型網絡的模擬法

1、低通濾波器

（1）三階低通濾波器的設計

我們以三階低通開關電容濾波器的設計為例，來說明低通開關電容濾波器的設計方法及步驟。三階無源RLC梯型濾波器如圖5.3-7a所示，它的節點電壓和支路電流由下列方程式描述

為使上式電流量變為電壓量，引入比例電阻R，令（i 為上式電流 I 的腳標）。這樣上式寫為

由（5.3-11）式可以得到如圖5.3-7b所示的信號流圖，圖中有三個積分器，它們的時間常數分別為C1R、L2/R和C2R。對（5.3-11）式加以整理，可以得到如下方程式

根據圖5.3-7b所示的信號流圖和（5.3-12）式以及RC積分器與開關電容積分器（圖5.3-4）之間的轉換關系，可以得到圖5.3-7c所示的三階低通開關電容濾波器。圖中各級開關電容積分器就是圖5.3-4所示的電路，為簡單起見，將其開關畫成另一種形式。低通、高通、帶通。若該電路各級開關電容積分器的積分時間常數與（5.3-12）式中的積分時間常數相對應并使其相等，可以得到如下方程式：

對上式進行整理后得

式中fcx是歸一化時（ωc=1弧度/秒）的時鐘信號頻率。在通常條件下，取Rs=RL=R=1歐姆，則（5.3-14）式寫為

由（5.3-14）或（5.3-15）式可知，只要知道RLC梯型濾波器在歸一化條件下的電感L、電容C、輸入端電阻Rs和終端電阻RL，以及歸一化后的時鐘信號頻率fcx，即可求得圖5.3-7（c）電路中各開關電容積分器的電容比值。低通、高通、帶通。為使開關電容濾波器特性與RLC濾波器特性接近，實際時鐘信號f′cx應遠大于低通濾波器的截止頻率fc，其關系為

在歸一化條件下，ωc=1弧度/秒，所以歸一化后的時鐘信號頻率fcx有如下關系：

對于低通濾波器來說，一般取20~40，如果取得過大，則加大積分器的電容比，增加芯片面積。

圖5.3-7aRLC梯型濾波器參數可以在表5.3-1中找到。對于歸一化（Rs=RL=1歐姆，ωc=1弧度/秒）三階巴特沃思低通濾波器，具體參數是

若取時鐘信號頻率f′cx與低通濾波器截止頻率fc的比值，則由（5.3-17）和（5.3-15）式，可得到圖5.3-7c中各開關電容積分器的電容比值，即

若取單位電容，則單位電容，單位電容，單位電容，單位電容。

顯然，單位電容越小，則開關電容濾波器總的電容值也越小。但單位電容的大小受寄生電容大小的制約，不能取得太小，通常取皮法。

以上我們都是在歸一化條件下進行計算的。若要對低通截止角頻率ωc作頻率變換，只要根據ωc值，并利用（5.3-16）式計算出實際的時鐘顏率，而對歸一化求得的電容比值不器作任何修正。低通、高通、帶通。其計算步驟是，首先在歸一化條件下由（5.3-17）和（5.3-15）式計算出電容比，然后根據所需要的截止頻率fc計算出實際所需的時鐘頻率f′cx。若上例的三階低通濾波器的截止頻率fc=1干赫，由（5.3-16）式可以得到實際時鐘額率千赫。

由上面討論可知，對于開關電容濾波器來說，在確定了時鐘頻率與濾波器截止頻率fc

的比值后，調節時鐘頻率，即可按的比例系數改變濾波器的截止頻率fc。

以上討論了三階低通開關電容濾波器的設計方法。無疑，采用類似的設計步驟，可以設計出高階全極點低通開關電容濾波器。下面討論橢圓函數低通濾波器的設計方法。

（2）橢圓函數低通開關電容濾波器的設計

橢圓函數低通開關電容濾波器是由無源RLC橢圓函數低通濾波器通過變換來實現的。

現以在通信系統中常用的五階橢圓函數低通開關電容濾波器為例，說明其設計方法。圖5.3-8是五階RLC橢圓函數低通濾波器，其歸一化元件值可由表5.3-3中找到。低通、高通、帶通。由圖5.3-8可以得到如下電壓、電流方程式：

為使上式電流量變為電壓量，引入比例電阻R，令，這樣，（5.3-18）式可寫為

由上式可知，各電壓之間的關系可通過積分器和加法器來實現。為便于選用有加法器的開關電容積分器，式中的V3改寫成-V3。

根據（5.3-19）式畫出的信號流圖如圖5.3-9a所示。圖中積分器1、2、3、4和5的積分時間常數分別為（C1+C2）R、L2/R、（C2+C3+C4）R，L4/R和（C4+C5）R，各a值表示如下：

（5.3-19）式中的比例電阻R，通?？筛鶕V波器的最大動態范圍和電容面積最小來進行選?。▍⒖幢竟澦模?，為簡單起見，取R=1歐姆。低通、高通、帶通。而圖5.3-8中歸一化時的電阻Rs和RL通常也是1歐姆，這樣，Rs=RL=R=1歐姆，根據圖5.3-9a所示的信號流圖和Rs=RL=R=1歐姆條件，可以得到圖5.3-9b所示的五階橢圓函數低通開關電容濾波器，對應于圖5.3-90.b積分時間常數，并使其相等以及根據（5.3-19）式，可以求得圖（b）中各積分器的電容值，其值由下式表示

式中ω′ck為實際時鐘角須率，ωc為濾波器的截止角頻率，fcx為濾波器截止角頻率為1弧度/秒時的時鐘頻率。為使通帶增益為0分貝，輸入端電容從，擴大到。

【例12】設計一個五階橢圓函數低通開關電容濾波器，主要參數：（1）通帶波動RP=0.1分貝；（2）止帶最小衰減分貝；（3）歸一化時止帶角頻率Ωs=1.20弧度/秒；（4）截止頻率fc=3.4千赫；（5）時鐘信號頻率=128千赫。

解     i.確定圖5.3-8電路中各元件值：

查表5.3-3得到

Rs=RL=1歐姆，C1==0.91441，C2=0.31628，L2=1.06516，C2=1.38201，L4=0.60131，C4=1.09329，C5=0.52974。

ii.計算時鐘頻率f′ck和截止頻fc的比值：

iii.計算歸一化時的時鐘頻率fcx：

iv.計算電容比：

根據（5.3-21）式

v.計算各電容值：

取單位電容；CA=7.374單位電容；CB=6.382單位電容；Cc=16.726單位電容；CD=3.603單位電容；CE=9.725單位電容；CF=1.895單位電容；CG=1.890單位電容；CE=6.557單位電容；CJ=6.555單位電容。

2、帶通濾波器

帶通開關電容濾波器的設計步驟：首先，將RLC低通濾波器通過頻率變換，求得RLC帶通濾波器；其次，列出RLC帶通濾波器各節點、支路電壓、電流方程式，然后根據電壓、電流方程式畫出信號流圖：最后由信號流圖得出帶通開關電容濾波器。

RLC二階歸一化低通濾波器如圖5.3-10a所示。低通、高通、帶通。根據低通到帶通的頻率變換關系式，將圖5.3-10a變換為如圖5.3-10b所示的RLC帶通濾波器，它的元件值為

式中C1、L2為RLC二階歸一化低通濾波器元件值，ωo為帶通濾波器的中心角頻率，B為帶通濾波器3分貝帶寬。

由圖5.3-10b可以得到如下電壓、電流方程：

用比例電阻R，將上式中的電流量變為電壓量并用t表示，則上式可以改寫為

根據（5.3-24）式畫出如圖5.3-10c所示的信號流圖，由此圖可以得到帶通開關電容濾波器電路，其電路形式如圖5.3-10d所示。為簡單起見，取Rs=RL=R=1歐姆，這樣圖中的CRs、CRL與相同，即。.該圖中各開關電容積分器的電容比值由（5.3-25）式求得，其表示式為

式中Q為帶通濾波器的Q值。

【例13】設計一個四階巴特沃思開關電容濾波器，它的時鐘信號頻率fcx是帶通中心頻率fo的20倍，帶通的Q值為5。

解     i.計算圖5.3-10a的元件值：

由表5.3-1得

Rs=RL=1歐姆，C1=1.4142，L2=1.4142

ii.計算圖5.3-10d中各開關電容積分器的電容比值：

由（5.3-25）式，得到如下各積分器的電容比為

3、高通濾波器

高通開關電容濾波器的設計步驟是：（1）由RLC低通濾波器經頻率變換后求得RLC高通濾波器；（2）列出RLC高通濾波器各節點和支路電壓、電流方程式：（3）根據電壓、電流方程式畫出信號流圖；（4）由信號流圖得出高通開關電容濾波器。圖5.3-11a為RLC四階高通濾波器，它直接由RLC低通濾波器經變換后得到，只要將低通濾波器中的L換成C，C換成L，并且它們之間的元件值互為倒數。

由圖5.3-11a得如下電壓、電流方程式：

引入比例電阻R，將上式的電流量變為電壓量，其關系式為，這樣上式可寫成

由（5.3-27）式，畫出如圖5.3-11b所示的信號流圖。根據此信號流圖求得四階高通開關電容濾波器，其電路形式如圖5.3-11c所示。低通、高通、帶通。為簡單起見，取RL=R=1歐姆。該電路的電容比值由下式求得

式中ωc為高通濾波器的截止頻率。

【例14】設計一個四階巴特沃思高通開關電容濾波器，其時鐘頻率fcx與截止頻率fc之比為100。

解      i.計算歸一化四階巴特沃思低通濾波器參數：

由表5.3--2得

RL=1歐姆，L1=1.5307，C2=1，5772，L3=1.0824，C4=0，3827

ii.計算歸一化四階巴特沃思高通濾波器參數：

根據低通濾波器與高通濾波器之間的轉換關系，求得高通濾波器中的電感和電容值為

iii.計算5.3-11（c）電路的電容比值：

由（5.3-28）式得

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