雙二階傳遞函數及開關電容濾波器的電路結構分析

雙二階開關電容濾波器

前面我們討論了用無源RLC網絡來設計開關電容濾波器。這種設計方法主要用于低通和帶通的設計。若要設計高通或帶阻就比較困難，即使設計出來，往往電路結構復雜，電容面積較大，因而很少采用。下面我們介紹一種雙二階開關電容濾波器結構。采用雙二階開關電容濾波器電路能方便地設計出低通、高通、帶通和帶阻等各類濾波器，并將此電路進行串聯，實現高階濾波器。但用這種方法實現的高階或高Q值開關電容濾波器，其靈敏度高，故實用性降低。

1、雙二階傳遞函數

由本章第二節可知，任何一個S域的高階傳遞函數，都可以分解為一階和二階相乘的形式，在二階傳遞函數中：代表性的是雙二階傳遞函數，其表示式為

利用上式，可實現二階低通（b2=b1=0）、高通（b2=bo=0）、帶通（b1=0）和帶阻等各類濾波器。由雙二階傳遞函數實現的開關電容濾波器稱為雙二階開關電容濾波器。為討論方便起見，（5.3-29）式也可寫成

式中ωP是極點頻率，Q是與極點相對應的極點Q值，由（5.3-29）和（5.3-30）式，可以得到如下關系式：

2、雙二階開關電容濾波器的電路結構

為了得到實現雙二階傳遞函數H（S）的方框圖，將（5.3-30）式改寫為

將上式兩邊除以S²、整理得到

式中的V1表示為

由（5.3-33）和（5.3-34）式，可畫出如圖5.3-12a所示的信號流圖，它包含兩個反相積分器以產生-1/S運算。若反相積分器由具有反饋電容C=1的運放來實現，那么傳輸支路ωP，bo/ωP和-ωP，成為反相積分器的積分電阻，其值分別為1/ωP，ωP/bo和-ωP；而傳輸支路S/Q、Sb1/ωP和b2S分別成為反相積分器，輸入端電容1/Q、b1/ωP和b2，構成加法電路。因而圖5.3-12a所示的信號流圖可由雙二階有源RC電路來實現，其電路形式如圖5.3-12b所示。若圖中的正電阻用圖5.3-2b開關電容電路來替代，而負電阻用圖5.3-2c開關電答電路來替代，那么，可以得到雙二階開關電容濾波器，其電路如圖5.3-12c所示。根據（5.3-3）式，開關電容的電容值為C=T/（為等值的模擬電阻），那么圖中各電容值為

極點角額率ωP，近似等于濾波器截止角頻率ωc，而要使（5.3-35）式成立，應滿足。我們根據（5.3-35）和（5.3-30）式，可設計出雙二階低通、高通、帶通和帶阻等開關電容濾波器，但這種設計法精度不高。若要精確地進行設計，可采用如下設計公式：

式中ao、a1、bo、b1和b2是（5.3-29）式的系數。開關時鐘信號周期T=2，僅僅是為了計算上的方便，它只是一個相對值。

【例15】設計一個二階帶通開關電容濾波器，主要參數：（1）通帶中心頻率為fo，相應的增益Ao=10；（2）Q=70；（3）開關時鐘信號須率fcx與通帶中心頻率fo之比為20。

解        i.采用圖5.3-12c的電路形式。

           ii.計算雙二階函數的系數：

帶通傳遞函數為

由（5.3-36）式可知，fcx=0.5，用fcx/fo=20，所以帶通中心頻率fo=0.025，ωo=0.157。

而

iii.計算圖中的電容值：

由（5.3-36）式可得

iv.取電容值：

為獲得較小的電容面積，將和為一組，和為另一組，取組中電容值最小的為1單位電容，在電容最小，因而這組中的電容值為

另一組電容，電容最小，因而取

本例中，若取通帶中心頻率fo=1干赫，那么此時所需的時鐘頻率fcx=20千赫。

【例16】使用圖5.3-12c所示的雙二階開關電容濾波器，設計四階、通帶波動為0.25分貝的切比雪夫高通開關電容濾波器，取fcx/fc=200。

解        i.計算歸一化四階、通帶波動為0.25分貝的切比雷夫低通濾波器傳遞函數：

它的傳遞函數為

由表5.1-4提供的參數，并經換算后得

而

ii.計算高通傳遞函數

將低通傳遞函數經頻率變換后，即在（5.3-37）式中以S用ωc/S來取代，可得高通傳遞函數：

四階高通濾波器由兩個雙二階開關電容濾波器（圖5.3-12c）進行串聯來實現?，F分別計算第一級和第二級雙二階高通開關電答濾波器中的各電容值。

iii.計算第一級雙二階高通開關電容濾波器中的電容值：

（5.3-38）式中的系數a1、a2和b2為

由（5.3-36）式得電容值為

取單位電容，

iv.計算第二級雙二階高通開關電容濾波器中的電容值：

取單位電容

本例中，若取時鐘信號頻率fcx=200千赫，那么高通濾波器的截止頻率fc=1干赫。

從以上兩個設計實例可以看出，首先求出濾波器在S域的傳遞函數H（S），然后利用（5.3-36）式，計算出圖5.3-12c雙二階開關電容濾波器中各電容的電容值。這樣較容易設計出各種類型的開關電容濾波器。

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