四端MOS結構的一個近似的強反型模型特性解析

雖然上面導出的模型提供了良好的精度，但是對于手算或者甚至對于大電路的快速計算機模擬來說，該模型仍過于復雜?，F在我們來推導一個精度較低但較為簡單的模型^［26］。

式（4.4.8）[或（4.4.17）]的復雜性產生于式中難以處理的3/2次冪。顯然，3/2次冪的起源是式（4.4.16a）中的平方根項，而平方根項又起源于Q′_B表達式（4.4.15）。圖4.10中畫出了一條從式（4.4.15）得出的-Q′_B/C′_ox曲線，由于此曲線的斜率變化不大，故設法用在適當點VCB=VSB附近展開泰勒級數的前二項來近似近似-Q′_B/C′_ox是合理的^①。這將給出

式中δ₁是-Q′_B/C′_ox與VCB關系曲線在VCB=VsB處算得的斜率，δ₁的值將在后面給定。式（4.4.21）中等號右邊的部分在圖4.10中用最上面的一條虛線表示。在VCB=VsB時，它給出了-Q′_B/C′_ox的正確值和斜率，但在其余各處，對-Q′_B/C′_ox的估值偏高。把斜率值壓低到小于δ₁的某一δ值，即δ<δ₁，可獲得一個更好的近似，如中間的一條虛線所示：

在考慮δ的可能取值以前，讓我們先來推導對應于上述近似形式的Q′_I和I_D。把從式（4.4.22）所得到的Q′_B代入式（4.4.14），得

把式（4.4.23）代入式（4.4.13）并積分，可得漏端電流。再把VDB=VDS+VSB和VGB=VGS+VSB代入所得結果，并假定比為常數，于是給出^①

其中VT|V_SB。，是用VCB=VSB代入式（3.4.22b）后得到的柵-源外推閾值電壓。在大多數文獻中，對于閾值電壓取在源端這一點并未明顯地標出來。為了簡單起見，我們將與這一慣例取得一致，把上式寫成

式中的VT在本書的其余部分將定義為柵-源外推閾值電壓，由下式給出：

其中

顯然，由于體效應，VT取決于VSB。事實上，在許多處理方法中，術語體效應只意味著VT對VSB的依賴關系。在3.3節中曾提出過關于體效應的更一般的觀點。經常把參數ΦB取為等于2ΦF，但是這樣做是不合理的，這在2.5.2節開頭已解釋過了。對于本章中所考慮的均勻襯底，ΦB應該用一個比2ΦF稍高一點的值。當襯底摻雜濃度和氧化層厚度在通常范圍內時，2ΦF+6Φt是一個好的折衷值。

按式（4.4.25）所繪的曲線與圖4.9中的形狀大體相同。IDN出現最大值時的VDS值V′DS可從式（4.4.25）求得，先建立方程dID/dVDS=0，再從這方程解出VDS（=V′DS）

把從式（4.4.28）所得到的V′DS代入式（4.4.25），可求得相應的漏端電流I′D：

如在精確模型中那樣，I′D也是當VDS>V′DS時ID所取之值。仿照式（4.4.20），于是完整的模型可寫成：

這一模型示于圖4.11。通過式（4.4.26）中的VT其ID-VDS特性隨VSB而變。這一點示于圖4.12。

式（4.4.30）可寫成很緊湊的形式，如果定義一個簡便的參數^［70,71］

這個參數繪于圖4.13?，F在漏端電流可用下式表示：

其中I′D由式（4.4.29）給定。

不難證明，在VDS=V′DS時，式（4.4.23）預測溝道端處的Q′_I=0。產生這一切實際的結果的原因與討論精確強反型模型時所說明的原因是一樣的，故不再重復。同樣，關于精確強反型模型在鄰近VDS=V′DS時可能出現誤差的討論這里也適用。但是，這種誤差與目前的簡單模型的總精度是一致的。

現在我們回到為式（4.4.22），因而也是式（4.4.30）中的δ選取一個滿意值的問題上來。在早期的MOSFET特性的推導中，隱含地假設δ的值為：

這對應于圖4.10中的水平虛線，它對圖中實線的近似性很差。這一近似等效于假設沿溝道耗盡區的深度完全相同，且等于在源區的實際值。結果是，除了源區以外，|Q′_I|到處都估計得偏小。根據式（4.4.14），這一結果將導致|Q′_I|偏大，最后使I_D的估計偏大。對于大γ值的器件，I_D的誤差可能較大，后面我們還將回過來討論這一點。還要注意，由于|Q′_I|估計得過大，因而需要人為地加上一個較大的VDS，使得|Q′_I|在漏端減小至零。在目前這個模型的簡化假設下，已經指出過，這個VDS值就是V′DS。從式（4.4.28）可以看出，如果式中的δ不用一個比較實際的正值代入，而是取δ=0，則V′DS就會估計得偏大。

下一個將考慮用作δ的值是從導出式（4.4.21）所用的泰勒級數展開式中得出的一個值^［26］。這個值對應于圖4.10中的實線曲線在VCB=VSB處的斜率，并給定為：

從該圖明顯可見，只有當VDS=VDB-VSB很小時，這個值才是用作的一個較好的值。在一般情況下,這個值將導致|Q′B|的估計偏大，而|Q′_I|偏小。最后，ID和V′DS將會估計得偏小，也就是說，現在的誤差與δ=δo時的誤差方向相反，顯然，應該在δo與δ1之間尋求一個δ值。在文獻中已提出了若干個這樣的值，這些值與式（4.4.33b）的修正式相對應，修正的目的是為了壓低該式給出的δ值。有一種修正式具有如下的形式：

其中d₂為校正因子。d₂的值^［26,30］在0.5和0.8之間變化。在另外一種修正方法中，為了更好地與實際符合，允許校正因子隨VSB而變，并建議了一個半經驗公式d?=1-[Κ1+K2（ΦB+VsB）]^-1，其中Κ1和K2是常數，它們的值要選得使總誤差最小^①。然而，這種方法有損于模型的簡單性。

建議用作δ的另一個值是^［37］

其中Φ3=1V。上式在精度和簡單性兩方面都是一個較好的經驗公式，并能對實際情況給出滿意的結果。

最后，對于粗略計算，可尋求一種對δ的零階估計，它甚至與VSB無關。一種零階估計是^[28]

所有上述三種δ的表達式都達到了在合理的偏壓范圍內提供滿意精度的目標。如果它們在極端情況下（例如VDS超過10V）不能提供很好的結果，則不應感到驚奇。但是，對于大多數的實際情況，它們確實能提供滿意的精度。至于哪一個是δ的最好表達式，一般說來要取決于所追求的精度，所希望的計算速度及所期望的偏置電壓范圍。最終的標準是這個模型能怎樣正確地預測漏端電流。通過檢查在預測Q′_B時的誤差是不易判斷這一點的。當然Q′_B的誤差和ID的誤差是有聯系的，但是并非以很直接的方式互相關聯。例如，若Q′_B本來就較小[因而在（式4.4.14）中|Q′_B/C′ox|與其他項相比是較小的]，則可能出現這種情況，即Q′_B的相對誤差較大，而I_D的誤差卻仍然較小。具有薄氧化層和低摻雜襯底的器件就屬于這種情況，因為這時γ較小，從式（4.4.15）可知，這將導致|Q′_B|較小。

由于判斷成功與否的最終標準是近似模型能如何準確地預測ID，故有人可能考慮從精確的電流表達式（4.4.17）直接導出式（4.4.25）。

注意，當γ較小時，式（4.4.33b）至（4.4.33e）中的γ值都較小，并可用零來近似，也就是說，此時式（4.4.33a）的值是合理的。在這種情況下，式（4.4.30）成為

其中V′DS=VGS-VT。這些公式已被廣泛用于近似的手算電路設計，甚至也用于快速的計算機計算^{［21，25］}。然而它們已經常被不加選擇地使用，甚至用于會導致嚴重誤差的大γ器件（例如，在極端情況下誤差可達100%）。這一點將在4.13節中進一步考慮。

對于十分粗糙的建模工作，有時把強反型公式看成適用于VGS低到VT的情況（此時這些公式預示ID=0）。這種情況下，弱反型區和中反型區就不考慮了。

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