MOS晶體管低頻小信號模型強反型的原理及關系曲線

柵跨導

考慮一個具有恒定有效遷移率的長溝道器件。把4.4節中的精確或近似模型用于gm的定義式中，可求得

利用定義于式(4.4.31)中的參數α，上式可簡明地表示如下：

在飽和區，近似模型式(4.4.30b)給出電流，此式與式(8.2.1)一起可導出gm的下列等效形式：

從式（8.2.6α）可看到，在非飽和區，gm與VGS無關，這一點明鮮地表示在圖8.3中，我們假設用來得到相鄰曲線的VGS的階梯增量是不變，這樣，若階梯增量很小，則可從曲線之間的間距來估算gm。從圖中可見，對于線α和b，曲線之間的間距與VGS無關，而取決于VDS，這和式（8.2.6a）所預期的一樣。在飽和區，情況則相反，這可從式（3.2.6b）以及線c和d看出，在飽和區，gm與VDS無關，而取決于VGS(通過V′DS的作用)，MOS晶體管低頻小信號模型強反型。

可以把各種修正方法用于上面的那些公式，以便在出現高階效應時提高它們的精度。例如，若有效遷移率隨VGS變化，則對ID求導將產生一附加項。若溝道長度調制效應不能忽略，則應采用類似的修正。例如，當通過對式(5.2.8)求導來獲得gm時，  會產生一階修正的結果。

段溝道效應強烈地影響所有小信號參數的值。一個極端的例子就是在速度飽和情況下，短溝道效應對gm所產生的影響，這是漏端電流近似地由式（5.3.13b）給出。把該式對VGS求導，得到

其中，已在5.3節中討論過了?？梢?，在此情況下，gm是常數且與L無關，這與長溝道的情況相反。

在出現其他短溝道和窄溝道效應的情況下，gm的近似值可用第5章中的表達式代入定義式（8.2.1）來求得。

襯底跨導

利用gmb的定義式（8.2.2）和4.4節中的精確模型或近似模型可導出一個寫成如下形式的表達式

式中的b值對每個模型都是不相同的。從精確模型可得出下面的b值

用式（8.2.11α）時，必須小心，因為當VDS趨于零時，分子和分母都趨于零，這會引起數值問題。為了避免這些問題，可為該公式尋找一種性能更好的近似式。如果VDS較小，則第一個平方根可由其在VDS=0附近的泰勒展開式的頭兩項來近似，于是式（8.2.11α）簡化為

對于較大的VDS，這一關系式就不準確了，因為它不能預測式（8.2.11α）中b1隨VDS增加而略有下降的趨勢。然而，我們可對式(8.2.12)進行經驗修正，使它能預測這一趨勢。進行這種經驗修正的一種簡單方法表示如下，其中把修正后的b記作b2:

取kg=0.4,上式能很好的逼近式(8.2.11)。利用定義于式(4.4.31)，并繪于圖4.13的參數α可把式(8.2.13)寫為如下的簡明形式：

現在，轉向討論與式（4.4.30）的近似模型相應的gmb。若假設δ與VSB無關[例如見式（4.4.33a）或式（4.4.33e）]，則在式（4.4.30）中，與VSB有關的項只有VT[VT由式（4.4.26α）給出]，于是導數gmb=?ID/?VBS =-?ID/?VBS便給出了式（8.2.10），其中用了b=。正如式（8.2.12）所表明的那樣，這一結果只在VDS較小時才是令人滿意。因此，便有人去修正這個量，最后重又得到式（8.2.13）或（8.2.14）。對于更精確的ID模型，假設δ與VBS有關[例如見式(4.4.33c)或(4.4.33d))，在這種情況下，dID／dVBS中將包括半經驗量δ對VBS的導數。導出的gmb表達式雖然適用于小的VDS值，但對于大的VDS值仍不能令人滿意。對出現這一不良特性不應感到驚奇，因為式(4.3.30)是一個近似的關系式。  這—關系式是以提供ID的合理精度為要求而推導出來的,至于ID對VBS的導數則未加注意。一個函數式的“合理精度”并非必須要包括它的導數的合理精度。MOS晶體管低頻小信號模型強反型。當試圖對經驗或半經驗表達式求導時，這些問題是很普通的，因而使用時一定要小心。因此，我們將避免通過對近似的漏端電流表達式直接求導來獲得gmb，而只是用式(8.2.10)[式中的b=b2，b2由式(8.2.14)給出]來求得gmb。

現在來看一下VDS=0時的b值。式(8.2.12)在此情況下成為準確式了。借助于式(4.4.26a)可觀察到

利用由式(3.4.11)以及式(1.5.10)和(3.4.18)得出的γ表達式，不難證明：

這里是耗盡區的寬度，  因為VDS=0（VSB=VDB），所以耗盡區是均勻的。比值b=gmb/gm可以認為是“背柵”(襯底)和“前柵”的相對控制作用的度量。如從式(8.2.16)可見

氧化層越薄，b的值越小。這是講得通的，因為此時“前柵”靠近溝道，對溝道的控制作用很強，因此在相對意義上，“背柵”的控制作用較小。如果較小，那么情況相反，此時，耗盡區的邊緣靠近溝道，襯底的相對影響就較大。此外還要考慮到b與介電常數有關。氧化層的介電常數大，意味著柵通過氧化層對溝道的控制作用強，因而“背柵”的相對影響就小(b小)?！蕇大，情況相反；這意味著襯底的控制作用強。

以體效應系數為參數，  (gmb／gm)∣VDS=0與VSB的函數關系曲線繪于圖8.4。由于從式(8.2.13)可見，b隨VDS的變化不很顯著，因此，該圖可用來獲得VDS≠0時b=gmb/gm粗略估計值。

若對gm所作的高階修正不涉及到VSB[例如，對應于式(5.3.11)]，則對gmb的相應修正將通過式(8.2.10)自動地考慮到了。涉及VSB的修正[如式(4.8.18)]當然必須單獨加以考慮。在出現5.4節中所討論的電荷共享效應的情況下，gmb的近似表達式可用5.4節中的近似式代入定義式(8.2.2)中求得?？梢灶A期，存在強短溝道效應的情況下，gmb/gm會變得很小。因為在這些情況下，圖5.19中的梯形耗盡區變得接近于三角形，從而切斷了襯底對溝道的控制作用。

漏端電導

小信號漏端電導gd是當VGS和VSB保持恒定時，ID-VDS特性曲線的斜率。一組測量的ID-VDS特性曲線和相應的gd示于圖8.5(gd用對數軸)。把gd的定義式(8.2.3)用于非飽和精確模型式(4.4.17)，給出

近似模型式（4.4.30α）給出

可見，當VDS=0時，兩個表達式是等效的。

在飽和區，簡單的長溝道漏端電流模型假設ID固定在I′D值(此值是由非飽和表達式令其中的VDS=V′DS而得出的)。于是，可預測，ID與VDS無關，結果使ID-VDS曲線平行于VDS軸。由于gd是這些曲線的斜率，故其值被預測等于零，這是不能接受的。對于多數應用場合，人們需要用一個能提供精確斜率的模型來取代。這意味著利用這個新模型所給出的ID與VDS的關系曲線能反映出實驗觀察特性中的細微差別。MOS晶體管低頻小信號模型強反型。很遺憾，正如在圖8.6中舉例說明的，這是MOS晶體管建模中所存在的一個主要問題。在α中，實線表示測量特性；虛線表示模型的特性，該模型的參數照例已被調整，因此能相對準確地預測ID。確實如此，如圖所示，預測ID時的誤差最多是百分之幾。在b中，兩條曲線的斜率一gd的誤差超過100%1這在模擬電路設計中會產生嚴重的后果。例如，一個CMOS倒相器的小信號“增益”正比于兩器件的gd值之和，若用上述模型來計算，則會產生很大的誤差。

若假設飽和電流與VDS呈現出如式(5.2.8)那樣的一次關系，結果gd值為

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正如從上述討論所預料的，這一公式太粗糙了。它存在的問題之一是通常不能準確地預測gd隨VGS(在該表達式中，VGS穩含在I′D中)的變化。gd的這一變化。受到下面討論的二維效應的影響?，F在已經提出了一種考慮這一變化的經驗修正方法，即

其中BS是一個經驗常數。

遺憾的是，上面兩個公式都預測gd與VDS無關。然而，進一步觀察表明，當VGS保持不變時(假設沒有出現擊穿或穿通現象)，gd隨VDS增大而減小。為了模擬這一效應?，F在來考慮式(5.2.5b)，并重寫于下：

把此式代入式(8.2.3)，我們有(在下面的偏導中，要明白VGS和VBS保持恒定)

若ID／I′D與1相差不多，則該式簡化為

根據對ΔL所假設的情況不同(5.2節)可得各種不同的gd表達式。例如，  如果利用式(5.2.6)可得：

這樣，利用式(8.2.23)

為“有助于”用這一公式模擬gd與VGS的依賴關系，可采用一個相乘的經驗因子，如式(8.2.20)中所做的那樣。這一級建模方法在計算機輔助MOS電路的分析和設計中得到了廣泛的應用，并常常適用于數字電路。盡管對某些模擬電路應用來說，它仍不能令人滿意，因為正如已經解釋過的那樣，模擬電路應用會對飽和區的gd模型設置過多的要求。這一參數不允許像上面那樣來模擬的原因是漏端附近的電場分布實際上是二維的。在漏端附近，緩變溝道近似不成立，電場有一顯著的水平分量。那里，電場的詳細情況受漏區細節情況(例如，結深)的影響，特別是受從柵發出的場強線的影響，結果造成電流的流動，且至少部分發生在子表面路徑上。對于很精確的gd建模，應該計及“夾斷”區的有關電荷。為了精確計算ID(因而也是gd)，  我們必須憑借二維數值模擬的方法，并用計算機來進行。也有人提出了擬二維方法。導出適當精確的gd表達式的分析方法是復雜的，  這些表達式包含全部或大多數出現在下列關系式中的量。

其中是結深。為簡單起見，有時，諸如VT和V′DB，甚至反型層厚度這些量也都被包括為參數，盡管它們在原則上都可表示為出現在上式中的一些量的函數。這種分析結果的例子列在附錄J中。

在尋求gd建模問題的一個合適的解決辦法時，會面臨兩個互相矛盾的要求。一方面，希望ID的模型保持簡單，以便在大規模電路模擬中提高計算效率，因為在大規模電路模擬中對網絡方程迭代求解時，ID的方程式可能必須使用幾十萬次。求大信號的瞬態解尤其需要考慮這，—點。簡單的模型盡管適用于預測ID，但通常不適用預測gd。另一方面，導出很準確地預測gd的ID模型可能是極其復雜的，它們過于精致的一面對ID的計算并不需要，  而事實上，反而使ID的計算變得極其緩慢。這里，一個解決問題的辦法是：對ID用簡單模型，而用另一個單獨的經過許多改進的精致模型來獲得gd。MOS晶體管低頻小信號模型強反型。為了使電路的各種類型的分析(直流、瞬態、小信號等)的結果是一致的，這種方法常常避免使用，但是，在一個CAD程序中，使用這一方法，作為程序的一個附加特征肯定是沒有害處的。

與gd的建摸問題混在一起的問題是：在某些CAD工具中，即使所用模型原則上對gd能夠提供可容忍的精度，但模型參數的選擇使得這一能力得不到發揮。因此，例如在一些自動的“參數提取”系統中，選擇模型參數，使電流的均方相對誤差最?。?/span>

式中IDj，j=1，...，K是對于偏置電壓的K次不同組合，ID的測量值，是對應的汁算值，αj是權系數，常取為1。上面這一判據宣布圖8.6α中的模型是“好”的，而在圖8.6b中可見，該模型在預測gd時嚴重失敗。在準確預測gd是主要的情況下，用于參數提取的一個更奸的判據是使下列誤差最小。

其中和上面的一樣。是gd建模中的均方誤差：

飽和時，式中的權系數可以加大。在有些模型中使用上述判據，可使gd的精度有很大的改善，而整個電流精度的損失可以忽略。當然，必須建立合適的測量gd的設備裝置。這種測量可能是棘手的。涉及gm和gmb的均方誤差也可加入式(8.2.28)。然而，只有當電流能準確地預測時，這些參數才能相對準確地預測。

除上面所考慮的飽和區中的誤差以外，從非飽和到飽和的“過渡”中也應預料到會有誤差。如4.4節中所述，由于此時溝道的漏端處于中反型，故強反型模型在該過渡區中就不準確了。這樣，gd就會產生誤差。最后，ID與VDS的函數關系表達式應對所有的VDS提供一個連續的gd。如果采用兩段式模型，則這兩段模型應設計得能保證實現這一點，即和5.2節中所討論的一樣。

短溝道效應強烈地影響著gd的值。在這些情況下，gd由溝道長度調制效應和漏端電場對極大部分溝道電荷的直接影響這兩者來確定。因而這一情況是非常復雜的，沒有簡單的模型能充分完整地描述它。然而，通過考慮一種大大簡化了的情況(此時，那些主要效應可由5.4.2節中所介紹的勢壘下降或電荷共享的描述來模擬)，對所發生的現象就可獲得一些“感性認識”。為了簡單起見，忽略溝道長度調制效應。我們將假設沒有出現速度飽和現象，且飽和時，器件可由下面簡單的平方律公式來描述：

其中的模型已在5.4.2節中得到了。從上式可得：

利用5.4.2節中的內容，該式變成

式中，常數的標稱值等于0.5。把式(8.2.30)代入式(8.2.1)，發現gm由式(8.2.8α)給出，但其中的VT要由來代替。這樣，我們有

定性地說，此式所預測的特性也可用另一種不同的場圖來得到，這種場圖假設來自于漏的一些場強線先是彎曲向下，然后經彎曲再轉為向上，并直接終止于遍及大部溝道的反型層電荷。這樣，漏的作用相當于一個“效率有些低的柵”；增加這一“柵”上的電壓會使電流增加，并導致gd不為零。參數d=gd／gm真是對這一“柵”和正常柵之間“競爭”  的一種度量(正像起著類似作用的b一樣，  b是襯底和正常柵之間相對競爭的一種度量)。L越小，整個反型層越接近漏區，漏區的影響就越強。這種情況下，d就較大。dox越小，實際柵越接近反型層，柵在競爭中就贏得更多的優勢；于是d將較小。兩種柵的相對影響也取決于把它們同反型層隔開的介質的介電常數：介電常數大意味著有效電容大，影響就強。所有這些定性結果都和式(8.2.33)一致。最后注意到，漏結的深度越深，就所關心的反型層而言，漏的作用將“表現”得更強烈。MOS晶體管低頻小信號模型強反型。與結深的關系可用5.4.2節中的那些“電荷共享”模型來預測，只要結深仍然為一個參數。

根據上面的結果可看到，不僅是gd的值取決于溝道的長度，而且還有gd與偏置電壓的函數關系的形式。例如從迄今為止的討論可推斷，gd的變化趨勢，對于長溝道器件，與ID近似成正比，對于短溝道器件，與近似成正比。這樣—-些結論當然受到上面的簡化假設(在某些情況下已是過分了)的有效性的制約。然而，可以看到這些趨勢超出了文獻中報導的實驗結果所限制的范圍。

我們要提醒讀者，穿通效應會引起過量的電流，這些電流不能用我們已經導出的任意一種表達式來模擬。在穿通區，ID變成與VDS有強烈的依賴關系(圖5.18)，因而會出現大的gd值。

小信號電導與VDS的關系曲線

圖8.7表示了上面所討論的三種小信號電導參數，當VGS固定時，與VDS的關系曲線。尖角當然是人為的，并且是建模過程中作了一些簡化的結果。更精確的模型可提供光滑的曲線。例如，如果考慮非飽和與飽和之間的過渡區，并計入飽和時的溝道長度調制效應，則gd的圖形將具有如圖中虛線所示的形狀。

    值得注意，對于δ可以忽略的器件，我們有

當然，這時假設VGS值相同。

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