MOS晶體管非準靜態模型的復指數激勵原理特性解析

我們可以假設小信號電壓是正眩的，并認為對應的小信號端電流處于正弦穩態。但是，結果發現代數運算是不必要的復雜。因此，我們將仿照一種標準的做法，改為研究一個假想的復指數形式的激勵：

其中帶小寫下標的大寫字母表示與時間無關的，通常是復數的相量，ω是角頻率(以rad／s為單位)。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。由于聯系各種小信號量的方程(上面導出的)是線性的，  所以每一個由式(9.4.49)中的激勵在穩態時所產生的效應——小信號量也將等于一個復數乘以e^jωt。具體地說，可以寫出

    式(9.4.50)是對式(9.4.49)中激勵的各種“響應”。雖然所有這些復激勵和復響應都是假想的，但由于下面的原因可知它們是有用的。如果改用上述激勵的實部來驅動器件，則所有穩態響應由式(9.4.50)中的假想響應的實部給出?，F在，上述任何一個激勵的實部都是一個正弦量[例如，若M和Φ分別為Vgs的大小和相位，于是，在式(9.4.49a)中的υgs（t）的實部便是Mcos(ωt+Φ)]。因此若采用上述假想的指數函數來分析問題，則實激勵和實響應(只是為了數學上的方便)為正弦穩態提供了一切有用的信息。此外，如果對復指數激勵的響應已知，則通過各種變換方法可以確定對其他類波形激勵的響應。

現在可以把式(9.4.49)和(9.4.50)中的量代入式(9.4.42)、(9.4.43)、(9.4.40)、(9.4.41)、(9.4.44)，(9.4.46)和(9.4.48)。在所有情況下，e^jωt都作為一個公共因子出現在等號的兩邊。這樣，不難得到

在上述方程中注意下面幾點：μ、W、L和C′ox是已知的器件參數，δ₁對應于一給定得偏壓VSB，并由式（9.4.1）給定，UI（x）是已給知的由式(9.4.13)給出的x的函數。Vgs、Vbs和Vds是已知的代表激勵的相量。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。因此，  對于一給定的ω，式(9.4.51)是關于兩個未知函數Ii(x，ω)和Ui(x，ω)的由兩個微分方程組成的一個方程組，該方程組可用貝塞爾函數，并結合式(9.4.52)中給定的邊界條件來；另一個求解方法是采用迭代技術。函數Ui(x，ω)和Ii(x，ω)一旦確定，就可把它們代入式(9.4.53)以得到Id(ω)、Ig(ω)和Ib(ω)。這里不打算介紹。下面我們概括一下結果的形式，最終表達式為下面這樣的形式：

式中，量Nkl(ω)(k，l=d,g,b)和D(ω)是jω的無窮級數。例如

上面兩個無窮級數以及式(9.4.54)至(9.4.56)中的所有Nkl(ω)中的一直高到二階的系數在附錄M 中給出。通過把式(9.4.54)至(9.4.56)與式(9.3.8)相比較，最后可以求得參數：

給定一個頻率，可以計算參數，通過在分子和分母保留適當數目的項，可使計算結果達到任意要求的精度。這樣得到的值可以代入圖9.16中的小信號等效電路。

現在考慮圖9.17中的等效電路。上面確定的參數中只有三個：gd、gb和bd直接出現在這一電路中，電路中的其余參數可以從式(9.3.7)和式(9.3.10)輕而易舉地求得：

式中右邊的值由式(9.4.58)至(9.4.60)給出

我們將用有助于把圖9.17中的模型與8.3節中導出的模型聯系起來的方法，來寫圖9.17中的模型參數的表達式?，F在從式(9.4.58)至(9.4.60)出發進行這一工作。在每一個參數的表達式中，提出分子中第一個不為零的項作為公因子。例如，考慮式(9.4.61)中的gd。

從附錄M，有ngd0=0和do=1。這樣，我們可以寫出

查看附錄M發現，-ngd1與式(8.3.10)中的Cgd有完全一樣的表達式。因此，我們可以寫出

    用類似的方法進行處理，可以求得圖9.17中所有參數的表達式。在推導每—表達式時，該表達式中的有一部分可以看成是第8章中討論過的，大家所熟悉的小信號量。結果概括如下(使用減號，與圖9.17對應)：

其中(經過較長的代數運算之后)

式中的a由式(4.4.31)給出，以及

我們注意到，在式(9.4.65f)至(9.4.65h)的分子中，并未包含頻率相關的項，這是因為在使用式(9.4.6c)至(9.4.62e)時，這些項互相抵消了。

    現在考慮低頻情況，因此ω《ωo。這時，式(9.4.65)給出。由于這些近似關系及mx=0，圖9.17中的模型就簡化為圖8.13中的模型。這樣， 從不同的前提出發得出了相同的模型。

    上述推導中出現的a量由式(4.4.31)給定，且該式中的V′DS=（VGS-VT）/（1+δ），并取δ=δ1。這-δ值用起來并不覺得是最佳的(除非VDS很小)，這一點已在4.4.2節中解釋過了。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。但是這里還是出現了這-δ值，因為我們最初用了式(9.4.1)的假定，而這一假設又是獲得易處理的結果所必需的。然而，我們還是希望目前的模型能和對應的直流模型，式(4.4.30)一致，直流模型中沒有采用δ=δ1的限制。因此，我們將從目前的模型中取消這一限制，而考慮V′DS具有和直流模型式中同樣的合適值[見與式(4.4.33)有關的討論了]。

    類似的評論適用于式(9.4.65)至(9.4.67)中的其他量(Cbs，gb等)。因此，仿照上面所用的方法，可以導出第8章中所熟悉的這些量的表達式，只是δ1用某個不同的量代替而已。[例如，我們求得gmb=b1gm，此式具有式(8.2.10)的形式，但b=b1，b1來自式(8.2.12)，當VDS較大時，正如式(8.2.12)后面所指出的那樣，這是不精確的。還有，因為我們沒有計入溝道長度調制效應，所以在飽和區，由上述推導得出的gd值為零。通過采納下面的方法，可以取消所有這樣一些限制：第8章中已經遇到過的式(9.4.65)至(9.4.67)中的任意一個量都假設具有那章中所給定的值。這樣，在低頻時，目前的模型不僅在拓撲上(圖8.13)，而且在其元件值上都將簡化為8.3節中的模型。這是一個十分希望具有的特性。它使我們有可能把已知的在低頻小信號參數方面所作的一切精心的處理結合到目前的模型中來。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。這樣，在低頻時，模型的特性將會非常好(當然，在低頻模型失效的頻率上，它也將提供有用的結果)。

    利用式(8.3.15)和(9.4.65)，可得到

如VDS較小，和／或VSB較大，此時，耗盡區沿溝道是近似均勻的，則式(9.4.68)成立，并有良好的精度。在其他情況下，這一關系也成立，但精度是有限的。

現在來推導式(9.4.65)中那些關系式的一些十分有用的近似式。以gs為例。如果工作頻率滿足ωτ《1，則可以寫1+jωτ2≈1／(1-jωτ₂)。把此式代入式(9.4.65a)，并忽略高次項，可得-gs≈jωCgs／[1+jω(τ1-τ2)]；對于-bs,-gd和-bd也類類似。至于這些近似式的有效性，下面很快就要討論。這樣，便有：

 遺憾的是，這類近似式不能用于-gb。不能在所有偏壓下都假設ωτ₄《1，因為當VDS=0(a=1)時，從式(9.4.66d)可見，τ₄變成無限大。[這是因從式(9.4.65a)中提取因子Cgb而引起的人為結果；不難檢查，乘積Cgbτ₄的性能是好的。因此，我們將用

 飽和時，在我們所作的另外一些近似是準確的那些頻率上，含有(jω)²的項可以略去而影響很小。非飽和時，尤其在VDS非常小的情況下，這一項在gb中可能是主要的一項，但無論如何gb的模值是很小的。它所貢獻的小電流幾乎不變，且被其他更大的電流(例如，非本征的柵-襯底電容中的電流)所掩蓋。因此，對于許多應用來說，含有(jω)²的項可以略去。

    對于式(9.4.65)中的其他參數，我們只是略去分母中的高次項，即

式(9.4.69a)至(9.4.69d)中，等號右邊導納的一般形式為jωC(1+jωτ)。  圖9.18a表示了實現這樣一個導納的一種簡單電路。圖9.18b是實現式(9.4.69f)等號右邊導納的電路，最后，圖9.18c表示了實現式(9.4.69e)等號右邊導納的電路，R是任意的。方框內的部分代表含有（jω）²的這一項。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。圖9.18中的三種電路表示，可以通過簡單的電路分析來證明。

借助于圖9.18，不難看出，如果利用式（9.4.69），則圖9.17的等效電路取決于圖9.19中的形式。虛線方框部分和圖9.18c中的一。在許多應用中，由于上面已提到過的原因，該方框部分可以略去。正如從圖9.18a和式（9.4.69a）至（9.4.69d）可得到出的那樣，有

從上式可以計算出電阻值。正如從圖9.18c和式(9.4.69f)可得出的那樣，對于電感，有

電阻和電感曲線示于圖9.20。

不管式(9.4.69)中ωτ₁《1這—形式的條件是否成立，我們發現剛才介紹的模型一直到ω=ω₀左右都是令人滿意的。各種模型的比較將在9.5節中進行。

可以認為圖9.19中的各個電阻和那個電感(與和它們相串聯的元件協同一起)是代表反型層對于快速變化響應時的慣性所引起的一些效應。這樣，如果源電壓變化很快，則反型層在響應時顯得“猶豫”，柵電流和襯底電流的相應變化也將滯后于源電壓的變化；上述效應分別由R_gs、C_gs和R_bs、G_bs來模擬。串聯組合R_gd、C_gd和R_bd、C_bd則是模擬漏端電壓快速變化時，與上述相應的效應(在非飽和區)。  Ld和gd的串聯組合可以認為是代表漏端電壓快速變化要求源端電流也有這樣快的變化時，反型層所表現的慣性(在非飽和區)。最后，兩個電流源分母的值模擬當柵或襯底電壓變化時，在改變漏端電流方面反型層所表現的慣性。

如果加在端子上的小信號電壓的頻率變得足夠低，則前面提到的慣性就可忽略。實際上，隨著頻率的降低，Cgs、Cbs、Cgd和Cbd的阻抗值增加，相對于這些阻抗來說，串聯電阻變得不重要了，故可忽略。還有，隨著頻率的降低，電感的阻抗減小，因而與和它串聯的電阻相比，這一元件可以略去。最后，在低頻時，電流源分母的值近似等于1。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。可見，這種情況下，圖9.19中的模型就簡化為圖8.13的模型。

這里的模型也可與9.2節中的完整準靜態模型聯系起來。低頻時，圖9.19中串聯的RC組合，由于上面已經討論的原因，簡化成圖9.5中相應的電容。此外，如果假設ωτ₁《1，則就可使用近似式1／(1+jωτ₁)≈1-jωτ₁，  因而可把式(9.4.69f)至(9.4.69h)寫成如下形式：

把式(9.4.71)與完整準靜態模型的-sd、m和mb[式(9.3.11f)至(9.3.11h)]相比較表明，兩者的形式是一樣的(回想一下Csd是一負值)。進一步檢查這些方程中的各個參數的表達式發現，事實上式(9.4.71)至(9.4.71c)不僅在形式上，而且在元件值上都和式(9.3.11f)至(9.3.11h)完全相同。因此，假設Cmx可以忽略，  圖9.19中的模型便簡化為圖9.5中的完整準靜態模型。特別注意，圖9.19中電阻-電感的串聯組合簡化為電阻和負電容的并聯組合。隨著頻率進一步降低，-sd、m和mb中含ω的項可以忽略，從而使模型簡化為圖8.13中的簡化模型。

圖9.19中的受控電源的系數是復數，這可能使這一模型不能直接用于一些計算機分析程序。采用下面這樣的寫法可以避免發生這個問題：

其中

把式(9.4.71)與完整準靜態模型的-sd、m和mb[式(9.3.11f)至(9.3.11h)]相比較表明，兩者的形式是一樣的(回想一下Csd是一負值)。進一步檢查這些方程中的各個參數的表達式發現，事實上式(9.4.71)至(9.4.71c)不僅在形式上，而且在元件值上都和式(9.3.11f)至(9.3.11h)完全相同。因此，假設Cmx可以忽略，  圖9.19中的模型便簡化為圖9.5中的完整準靜態模型。特別注意，圖9.19中電阻-電感的串聯組合簡化為電阻和負電容的并聯組合。MOS管非準靜態模型的復指數激勵。隨著頻率進一步降低，-sd、m和mb中含ω的項可以忽略，從而使模型簡化為圖8.13中的簡化模型。

圖9.19中的受控電源的系數是負數，這可能使這一模型不能直接用于一些計算機分析程序。采用下面這樣的寫法可以避免發生這個問題：

其中

   利用兩個簡單電路很容易從Vgs得到V1，從Vbs得到V2。圖9.21利用了這個思想，  只要R1C1=τ1和R2C2=τ1，不難證明對于該圖，式(9.4.73)成立。  但是，為了不破壞這個模型，我們必須保證新加元件中的電流可以忽略(與只Rgs-Cgs和Rbs-Cbs支路中的電流相比)。例如通過選用，下列元件值便可保證實現這一點：

在飽和區，圖9.21的模型呈簡單形式，如圖9.22所示，這一形式不難從上述關系式推導出來、在飽和區，g_d模擬溝道長度調制效應。對低頻時的這一效應已經有過大量的研究，但在本節模型的推導中未曾把它包括進去。因此，沒有理由假設如式(9.4.70c)那樣給定的Ld用于飽和區時會是正確的，在實際中，這可能不是一個問題i因為在電路中，源和漏之間總有電容存在(例如，有另外一個晶體管連向討論中的晶體管，或者有寄生電容)。在Ld的阻抗變得可與1/g_d和L_d的微小的小信號電流也許可以忽略。

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